Question

7．三角形ABC的内角A，B的对边分别为a，b，若$acos（{π-A}）+bsin（{\frac{π}{2}+B}）=0$，则三角形ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．

Answer 1

分析 用诱导公式化简已知，利用正弦定理将acosA=bcosB中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可．

解答 解：∵在△ABC中，$acos（{π-A}）+bsin（{\frac{π}{2}+B}）=0$，
∴acosA=bcosB，
∴由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴$\frac{1}{2}$sin2A=$\frac{1}{2}$sin2B，
∴sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A=π-2B，
∴A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
∴△ABC为等腰或直角三角形，
故答案为：等腰三角形或直角三角形．

点评 本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．