题目内容
如图PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E．（1）证明：∠ADE=∠AED；
（2）若OA=1，PC=
| 3 |
考点：与圆有关的比例线段
专题：直线与圆
分析：（1）由弦切角定理得∠BAP=∠C，从而∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，由此能证明∠ADE=∠AED．
（2）由∠BAP=∠C，∠APC=∠BPA，得△APC∽△BPA，从而
=
，由此能求出PC=PB+BC=1+2=3．
（2）由∠BAP=∠C，∠APC=∠BPA，得△APC∽△BPA，从而
| CA |
| AB |
| 3 |
解答：
（1）证明：∵PA是切线，AB是弦，
∴∠BAP=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED．
（2）解：由（1）知∠BAP=∠C，
又∵∠APC=∠BPA，∴△APC∽△BPA，
∴
=
，∵PC=
PA，∴
=
，
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，
Rt△BAC中，tan∠C=
=
，∴∠C=30°，
∴∠ABC=60°，∠APC=30°，
∵OA=1，∴PC=PB+BC=1+2=3．
∴∠BAP=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED．
（2）解：由（1）知∠BAP=∠C，
又∵∠APC=∠BPA，∴△APC∽△BPA，
∴
| PC |
| PA |
| CA |
| AB |
| 3 |
| CA |
| AB |
| 3 |
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，
Rt△BAC中，tan∠C=
| CA |
| AB |
| ||
| 3 |
∴∠ABC=60°，∠APC=30°，
∵OA=1，∴PC=PB+BC=1+2=3．
点评：本题考查两角相等的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、三角形相似、圆的性质等知识点的合理运用．
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