Question

8．某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了20名学生的成绩进行分析，如图是这20名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．
（Ⅰ） 求图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数；
（Ⅱ） 学校决定从成绩在[100，120）的学生中任选2名进行座谈，求此2人的成绩都在[110，120）中的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率分布直方图知组距为10，由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，求出a，由此能求出成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数．
（Ⅱ）记成绩落在[100，110）中的2人为A₁，A₂，成绩落在[110，120）中的3人为B₁，B₂，B₃，由此利用列举法能求出此2人的成绩都在[110，120）中的概率．

解答 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图知组距为10，
由（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，
解得$a=\frac{1}{200}=0.005$；（2分）
所以成绩落在[100，110）中的人数为2×0.005×10×20=2；（4分）
成绩落在[110，120）中的人数为3×0.005×10×20=3．（6分）
（Ⅱ）记成绩落在[100，110）中的2人为A₁，A₂，
成绩落在[110，120）中的3人为B₁，B₂，B₃，
则从成绩在[100，120）的学生中任选2人的基本事件共有10个：
{A₁，A₂}，{A₁，B₁}，{A₁，B₂}，{A₁，B₃}，{A₂，B₁}，{A₂，B₂}，{A₂，B₃}，{B₁，B₂}，{B₁，B₃}，{B₂，B₃}，
其中2人的成绩都在[110，120）中的基本事件有3个：
{B₁，B₂}，{B₁，B₃}，{B₂，B₃}，
所以所求概率为$P=\frac{3}{10}$．（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．