Question

已知函数f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）证明f（x）＞0；
（Ⅲ）若f（x）•f（-x）=

25

36

x²，求x的值．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）求出定义域，再计算f（-x），与f（x）比较，即可得到f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）讨论x＞0，x＜0，由指数函数的单调性，即可得证；
（Ⅲ）运用偶函数的结论，即可得到

1

2x-1

+

1

2

=±

5

6

，解出即可得到x．

解答： （Ⅰ）解：函数f（x）=x

2x+1

2(2x-1)

的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，
f（-x）=-x•

2-x+1

2(2-x-1)

=-x•

1+2x

2(1-2x)

=f（x），
则f（x）为偶函数；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，2^x＞1，则f（x）＞0，
同理x＜0时，2^x＜1，也有f（x）＞0，
故f（x）＞0成立；
（Ⅲ）解：f（x）•f（-x）=

25

36

x²，
即有f²（x）=

25

36

x²，
即有f（x）=±

5

6

x，
即

1

2x-1

+

1

2

=±

5

6

，
即有2^x-1=3或-

3

4

，
即2^x=4或

1

4

，
解得，x=2或-2．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查指数函数的单调性和运用，考查运算能力，属于中档题．