Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
已知函数f（x）=1+a•(

1

3

)x+(

1

9

)x，
（1）当a=-

1

2

时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把a=-

1

2

代入函数的表达式，得出函数的单调区间，结合有界函数的定义进行判断；
（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立．令t=(

1

3

)x，-(t+

5

t

)≤a≤

3

t

-t对t∈（0，1]恒成立，设h(t)=-(t+

5

t

)，p(t)=

3

t

-t，求出单调区间，得到函数的最值，从而求出a的值．

解答： 解：（1）当a=-

1

2

时，f(x)=1-

1

2

(

1

3

)x+(

1

9

)x，令t=(

1

3

)x，
∵x＜0，∴t＞1，y=1-

1

2

t+t2；
∵y=1-

1

2

t+t2在（1，+∞）上单调递增，
∴y＞

3

2

，即f（x）在（-∞，1）的值域为(

3

2

，+∞)，
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
∴函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数；   
（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立．
即：-4≤f（x）≤4，令t=(

1

3

)x，
∵x≥0，∴t∈（0，1]
∴-(t+

5

t

)≤a≤

3

t

-t对t∈（0，1]恒成立，
∴[-(t+

5

t

)]max≤a≤(

3

t

-t)min，
设h(t)=-(t+

5

t

)，p(t)=

3

t

-t，由t∈（0，1]，
由于h（t）在t∈（0，1]上递增，P（t）在t∈（0，1]上递减，
H（t）在t∈（0，1]上的最大值为h（1）=-6，
P（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=2
∴实数a的取值范围为[-6，2]．

点评：本题考查了函数的值域问题，考查了新定义问题，考查了函数的单调性，函数的最值问题，是一道综合题．