Question

13．已知函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}}$）+1，△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．
（Ⅰ）若角A、B、C成等差数列，求f（B）的值；
（Ⅱ）若f（$\frac{B}{2}$-$\frac{π}{6}}$）=$\frac{7}{4}$，边a、b、c成等比数列，△ABC的面积S=$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列的性质及三角形内角和定理可求B的值，进而利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
（Ⅱ）化简已知等式可求cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式，等比数列的性质可求b，利用余弦定理可求a+c，从而计算得解三角形的周长．

解答 解：（Ⅰ）∵角A、B、C成等差数列，可得：2B=A+C，
又∵A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{3}$，
∴可得：f（B）=cosπ+1=0．
（Ⅱ）∵f（$\frac{B}{2}$-$\frac{π}{6}}$）=cos[2（$\frac{B}{2}$-$\frac{π}{6}}$）+$\frac{π}{3}$]+1=cosB+1=$\frac{7}{4}$，
∴cosB=$\frac{3}{4}$，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{7}}{8}$ac=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，可得：ac=2，
∵a、b、c成等比数列，即b²=ac，
∴b=$\sqrt{2}$，
又∵由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-ac}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-6}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴解得：a+c=3．
∴△ABC的周长=a+b+c=3$+\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了等差数列、等比数列的性质，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理以及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．