Question

2．设A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}，其中x∈R．
（1）当a=-2时，求A∪B，A∩B；
（2）若A∩B=B且B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由x²+4x=0，解出可得A={-4，0}．a=-2时，x²+2（a+1）x+a²-1=0化为：x²-2x+3=0，由△＜0，可得B=∅．利用集合运算性质即可得出．
（2）由B≠∅，A∩B=B．可得B={0}，{-4}，或{0，-4}．分类讨论即可得出．

解答 解：（1）由x²+4x=0，解得x=0或-4，
∴A={-4，0}．
a=-2时，x²+2（a+1）x+a²-1=0化为：x²-2x+3=0，△=4-12＜0，此方程无解，
∴B=∅．
∴A∪B=A={-4，0}，A∩B=∅．
（2）∵B≠∅，A∩B=B．
∴B={0}，{-4}，或{0，-4}．
若B={0}，则a²-1=0，解得a=±1．若a=1，B={x|x²+4x=0}={0，-4}，舍去；若a=-1，B={0}，满足条件；
若B={-4}，则16-8（a+1）+a²-1=0，解得a=1或7．若a=1，B={x|x²+4x=0}={0，-4}，舍去；若a=7，B={-4，-12}，满足条件；
若B={0，-4}，由上面可知：a=1满足条件．
综上可得：a∈{-1，1，7}．

点评 本题考查了集合的运算性质、方程的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．