Question

已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率

6

3

且过点（

5

，0），过定点C（-1，0）的动直线与该椭圆相交于A、B两点．
（1）若线段AB中点的横坐标是-

1

2

，求直线AB的方程；
（2）设x轴上是否存在点M，使

MA

•

MB

为常数？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据离心率公式，及a，b，c的关系，求得a，b，得到椭圆方程．设出直线AB的方程，将直线方程代入椭圆，用设而不求和韦达定理方法表示出中点坐标，此时代入已知AB中点的横坐标，即可求出直线AB的方程；
（2）假设存在点M，使

MA

•

MB

为常数．分别分当直线AB与x轴不垂直时以及当直线AB与x轴垂直时求出点M的坐标．最后综合两种情况得出结论．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则

c

a

=

6

3

，a=

5

，即有c=

30

3

，b=

a2-c2

=

15

3

，
即有椭圆方程为：x²+3y²=5，
设直线AB：y=k（x+1），代入椭圆方程，得
（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则判别式△=36k⁴-4（1+3k²）（3k²-5）＞0，
x₁+x₂=-

6k2

1+3k2

，
由于线段AB中点的横坐标是-

1

2

，则x₁+x₂=-1，
则6k²=1+3k²，解得，k=±

3

3

，
检验，△=4-4×（1+1）×（1-6）＞0，
则直线AB的方程为y=±

3

3

（x+1）；
（2）假设x轴上存在点M（m，0），使

MA

•

MB

为常数．
①假设k存在，则

MA

=（x₁-m，y₁），

MB

=（x₂-m，y₂），
y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1），

MA

•

MB

=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=（1+k²）（x₁x₂）+（k²-m）（x₁+x₂）+m²+k²
=（1+k²）

3k2-5

1+3k2

+（k²-m）•

6k2

1+3k2

+m²+k²
=m²+

(6m-1)k2-5

1+3k2

=m²+2m-

1

3

-

6m+14

3(1+3k2)

，
当6m+14=0，即m=-

7

3

时，

MA

•

MB

为常数

4

9

．
②当直线AB与x轴垂直时，
此时点A，B的坐标分别为（-1，

2

3

），（-1，-

2

3

），
当m=-

7

3

时，亦有

MA

•

MB

=

4

9

．
综上，在x轴上存在定点M（-

7

3

，0），使

MA

•

MB

为常数．

点评：本题考查直线的一般方程以及直线与圆锥曲线的关系求法．通过运用设而不求韦达定理方法，以及向量的数量积的坐标表示．考查对知识的综合运用，属于中档题．