Question

已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，|AB|=4，点C在线段AB上且

BC

=3

CA

．
（I）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点（1，0）作两条互相垂直的直线分别交点C的轨迹于D、E和F、G，线段DE和FG的中点分别为M、N，问直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标；若否，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设点C的坐标为（x，y），A（a，0），B（0，b），由

BC

=3

CA

，得a=

4x

3

，b=4y，且a²+b²=16，由此能求出点C的轨迹方程．
（Ⅱ）设直线DE的方程为y=k（x-1），代入点C的轨迹方程，得到（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，从而DE的中点坐标为（

9k2

1+9k2

，

-k

1+9k2

），点N的坐标（

9

9+k2

，

k

9+k2

），进而直线MN的方程为

9(1-k2)

10k

y=x-

9

10

，由此能求出直线MN过定点（

9

10

，0

解答： 解：（Ⅰ）设点C的坐标为（x，y），A（a，0），B（0，b），
由

BC

=3

CA

，得a=

4x

3

，b=4y，
且a²+b²=16，
∴

16

9

x2+16y2=16，
∴点C的轨迹方程为

x2

9

+y2=1．
（Ⅱ）若两直线斜率均存在，设直线DE的方程为y=k（x-1），
代入点C的轨迹方程，得到：（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
∴DE的中点坐标为M（

9k2

1+9k2

，

-k

1+9k2

），
将上式中的k用-

1

k

代换，得到点N的坐标（

9

9+k2

，

k

9+k2

），
由点M，N的坐标得到直线MN的方程为

9(1-k2)

10k

y=x-

9

10

，
∴直线MN过定点（

9

10

，0），
若两直线中有一条斜率不存在，则由题意知直线MN为x轴，
上述结论仍然成立，
∴直线MN过定点（

9

10

，0）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线是否过定点坐标的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．