Question

如图，在正四棱锥P-ABCD中，∠APC=60°，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为（　　）

A． 1 7

B．- 1 7

C． 1 2

D．- 1 2

Answer 1

过A作AE⊥PB于E，连接EC，PO，连接AC、BD交于点O


∵PO是正四棱锥P-ABCD的高，PO⊥面ABCD，AC?平面ABCD
∴AC⊥PO
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，PO、BD是平面PBD内的相交直线
∴AC⊥平面PBD，得PB⊥AC
∵AE⊥PB，AC、AE是平面ACE内的相交直线
∴PB⊥平面ACE，得CE⊥PB
因此，∠AEC是二面角A-PB-C的平面角
设AB=1，得AC=

2

∵正四棱锥P-ABCD中，PA=PC，∠APC=60°，
∴△ACP是正三角形，得PA=PC=AC=

2

△PAB中，cos∠PBA=

AB2+PB2-PA2

2×AB×PB

2

4

∴Rt△ABE中，BE=ABcos∠PBA=

2

4

，AE=

AB2-BE2

=

14

4

，同理得到CE=

14

4

，
△AEC中，cos∠AEC

AE2+CE2-AC2

2AE×CE

=-

1

7

，
即二面角A-PB-C的平面角的余弦值为-

1

7

，
故选：B