Question

（2013•宿迁一模）如图，在正四棱锥P-ABCD中，已知PA=AB=

2

，点M为PA中点，求直线BM与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量

n

=（1，-1，1），

BM

=（

1

2

，-1，

1

2

），利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：解：正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=

2

，∴OA=OB=OP=1
建立如图所示的空间直角坐标系，
则有A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）
∵M是PA的中点，
∴M（

1

2

，0，

1

2

），

PA

=（1，0，-1），

PD

=（0，-1，-1）
设平面PAD的法向量为

n

=（x，y，1），则由

x-1=0 -y-1=0

，可得

n

=（1，-1，1）
∵

BM

=（

1

2

，-1，

1

2

）
∴cos＜

n

，

BM

＞=

1 2 +1+ 1 2

3 • 6 2

=

2 2

3

∴直线BM与平面PAD所成角的正弦值为

2 2

3

．

点评：本题考查线面角，考查空间向量的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．