Question

如图，在正四棱锥P-ABCD中，若

S△PBD

S△PAD

=

6

2

，则二面角P-BC-A等于（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  5π

  12

Answer 1

分析：正四棱锥的几何特征可得∠PFE即为二面角P-BC-A的平面角，设正四棱锥P-ABCD的底面棱长为a，侧棱长为b，结合已知中两个三角形面积比为定值，求出棱长之间的关系，进而解三角形PEF可得答案．

解答：解：设正四棱锥P-ABCD的底面棱长为a，侧棱长为b
则棱锥的高PO=

b2-( 2 2 a)2

=

b2- a2 2

，故S_△PBD=

1

2

BD•PO=

a

2

•

2b2-a2

棱锥侧面PAD的高为PE=

b2- a2 4

，故S_△PAD=

1

2

•PE•AD=

a

2

•

b2- a2 4

∵

S△PBD

S△PAD

=

6

2

=

2b2-a2

b2- a2 4

即b=

5

2

a
∴PE=PF=a
由正四棱锥的几何特征可得∠PFE即为二面角P-BC-A的平面角
在△PEF中PE=PF=EF
∴∠PFE=

π

3

即二面角P-BC-A等于

π

3

故选C

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，由于未给出棱长等信息，故难度较大．其中根据已知分析出棱长之间的比例关系是解答的关键