Question

如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=a，点E在棱PC上．
（1）问点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明；
（2）求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知，只需证明PA与面EDB内一条直线平行即可，因此连接AC，EO，AC∩BD=O，则O为AC的中点，证出PA∥EO，则PA∥平面EBD
（2）取PA的中点F，连接OF，BF，证出∠BFO为二面角C-PA-B的平面角，解△BOF 即可．

解答：解：（1）当E为PC中点时，PA∥平面EBD
连接AC，EO，且AC∩BD=O
∵四边形ABCD为正方形，
∴O为AC的中点，又E为中点，
∴OE为△ACP的中位线，
∴PA∥EO
又PA?面EBD，EO?平面EBD
∴PA∥平面EBD
（2）取PA的中点F，连接OF，BF，
∵PC=PA=a，AC=

2

a，∴CP⊥AP
∵O，F为中点，
∴OF∥CP，即OF⊥PA，
又∵BP=BA，F为PA中点∴BF⊥PA，
所以∠BFO为二面角C-PA-B的平面角．
在正四棱锥P-ABCD中易得：BF=

3

2

a，FO=

1

2

PC=

1

2

a，BO=

1

2

BD=

2

2

a
∴BF²=FO²+BO²，
∴△BOF为Rt△，
∴cos∠BFO=

1 2 a

3 2 a

=

3

3

点评：本题考查线面位置关系、二面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．