Question

7．如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E．M．N．G分别是AA₁，CD，CB，CC₁的中点，求证：
（1）MN∥B₁D₁．
（2）AC₁∥平面EB₁D₁．
（3）平面EB₁D₁∥平面BDG．

Answer 1

分析 （1）连结B₁D₁，由中位线可得MN∥BD，由平行六面体的性质可得四边形BB₁D₁D是平行四边形，可得B₁D₁∥BD，由平行公理可得MN∥B₁D₁；
（2）连A₁C₁，A₁C₁交B₁D₁与点O，则点O是A₁C₁的中点，可证EO∥AC₁，由直线与平面平行的判定定理证明AC₁∥平面EB₁D₁；
（2）由已知得B₁D₁∥BD，直线与平面平行的判定定理可证B₁D₁∥平面BDG，连结AC、BD，交于点P，由三角形中位线定理和平行公式得OE∥PG，可证OE∥平面BDG，由面面平行的判定定理证明平面EB₁D₁∥平面BDG．

解答 证明：（1）连结B₁D₁，
∵M、N分别是CD、CB的中点，∴MN是△BCD的中位线，
∴MN∥BD，
∵在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有BB₁∥D₁D，BB₁=D₁D，
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形，∴B₁D₁∥BD，
∴MN∥B₁D₁；
（2）连结A₁C₁，设与连结B₁D₁交于点O，
∵四边形A₁B₁C₁D₁为平行四边形，∴点O是A₁C₁的中点，
又∵E是AA₁的中点，
∴EO是△AA₁C₁的中位线，∴EO∥AC₁
又∵AC₁?面EB₁D₁，EO?面EB₁D₁，∴AC₁∥平面EB₁D₁．
（3）连结AC，BD，交于点P，则P是AC中点，连结PG，
在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有B₁D₁∥BD，
∵B₁D₁?平面EB₁D₁，B₁D₁?平面BDG，
∴B₁D₁∥平面BDG，
由（2）得OE∥AC₁，
∵P、G分别是AC、CC₁的中点，∴PG∥AC₁，
∴OE∥PG，
∵OE?平面EB₁D₁，OE?平面BDG，∴OE∥平面BDG，
∵OE∩B₁D₁=O，OE?平面EB₁D₁，B₁D₁?平面EB₁D₁，
∴平面EB₁D₁∥平面BDG．

点评 本题考查直线与平面平行以及平面与平面平行的判定定理，以及中位线、平行六面体的性质，属于中档题．