Question

设函数f（x）=|x²-4x-5|，当k＞6时，求证：在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象上方．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的图象

专题：证明题

分析：首先求出区间[-1，5]上的函数f（x）的解析式，并与直线y=kx+3k联立，消去y，得到关于x的方程，由判别式为0，求出k=2或k=18，结合图象说明k=2相切，k=18无交点，从而说明k＞6，结论成立．

解答： 证明：当x∈[-1，5]时，f（x）=-x²+4x+5，
由

y=kx+3k y=-x2+4x+5

消去y，得x²+（k-4）x+（3k-5）=0
令△=（k-4）²-4（3k-5）=0，
解得 k=2或k=18，
在区间[-1，5]上，
当k=2时，y=2（x+3）的图象与函数f（x）的图象
只交于一点（1，8），
当k=18时，y=18（x+3）的图象与函数f（x）的图象没有交点．
如图可知，由于直线y=k（x+3）过点（-3，0），
当k＞6时，直线y=k（x+3）是由直线y=2（x+3）绕点（-3，0）逆时针方向旋转得到．
因此，在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．

点评：本题主要考查函数图象问题转化为方程有解的问题，结合图象，观察图象的变化，从而得证，这种数形结合的思想在高中数学中应用广泛，值得重视．