Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}$-bx+2（a，b∈R）有极值，且在x=1处的切线与直线2x+2y+3=0垂直．
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为2．若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用切线方程，函数的极值，推出结果．
（2）利用函数的单调性以及函数的极小值是2，推出结果即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^2}+a{x^2}-bx+2$，∴f'（x）=x²+2ax-b，
由题意，得f'（1）=1+2a-b=1，∴b=2a．①
∵f（x）有极值，故方程f'（x）=x²+2ax-b=0有两个不等实根，
∴△=4a²+4b＞0，∴a²+b＞0．②
由①②可得a²+2a＞0，a＜-2或a＞0．
故实数a的取值范围是a∈（-∞，-2）∪（0，+∞）．
（2）存在$a=-\frac{8}{3}$．
∵f'（x）=x²+2ax-2a．令f'（x）=0，${x_1}=-a-\sqrt{{a^2}+2a}，{x_2}=-a+\sqrt{{a^2}+2a}$．f（x），f'（x）随x值的变化情况如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴$f{（x）_{极小值}}=f（{x_2}）=\frac{1}{3}x_2^3+ax_2^2-2a{x_2}+2=2$，∴x₂=0或$x_2^2+3a{x_2}-6a=0$．
若x₂=0，即$-a+\sqrt{{a^2}+2a}=0$，则a=0（舍）．
若$x_2^2+3a{x_2}-6a=0$，又f'（x₂）=0，∴$x_2^2+2a{x_2}-2a=0$，∴ax₂-4a=0，
∵a≠0，∴x₂=4，∴$-a+\sqrt{{a^2}+2a}=4$，∴$a=-\frac{8}{3}＜-2$．
∴存在实数$a=-\frac{8}{3}$，使得函数f（x）的极小值为2．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查计算能力．