Question

19．已知数列{a_n}满足：a₁=-$\frac{2}{3}，{a_{n+1}}=\frac{{-2{a_n}-3}}{{3{a_n}+4}}（n∈$N^*）．
（1）证明：数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+1}}}\right\}$是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b_n=$\frac{3}{2}（{{a_n}+1}）（n∈$N^*），若对一切n∈N^*，都有（1-b₁）（1-b₂）…（1-b_n）≤$\frac{λ}{{\sqrt{2n+1}}}$成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式推出数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+1}}}\right\}$是首项为3，公差为 3的等差数列，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用数列的单调性，化简求解即可．

解答 解：（1）因为${a_{n+1}}+1=\frac{{-2{a_n}-3}}{{3{a_n}+4}}+1=\frac{{{a_n}+1}}{{3{a_n}+4}}$，
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}+1}}=\frac{{3{a_n}+4}}{{{a_n}+1}}=3+\frac{1}{{{a_n}+1}}$，所以$\frac{1}{{{a_{n+1}}+1}}-\frac{1}{{{a_n}+1}}=3$，
所以$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+1}}}\right\}$是首项为3，公差为 3的等差数列，
所以$\frac{1}{{{a_n}+1}}=3n$，∴${a_n}=\frac{1}{3n}-1$．
（2）由数列{b_n}满足：b_n=$\frac{3}{2}（{{a_n}+1}）（n∈$N^*），可得${b_n}=\frac{1}{2n}$，
设$f（n）=\sqrt{2n+1}\frac{1}{2}•\frac{3}{4}•\frac{5}{6}…\frac{2n-1}{2n}（n≥1，n∈$N^*），
由$\frac{{f（{n+1}）}}{f（n）}=\sqrt{\frac{{4{n^2}+8n+3}}{{4{n^2}+8n+4}}}＜1$得$λ≥\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即λ的最小值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列与不等式的综合应用，考查计算能力．