Question

12．己知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S₆=9S₃
（I ）求{a_n}的通项公式
（II）设b_n=1+log₂a_n，求数列{a_nb_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（II）利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁=1，S₆=9S₃，知q≠1，故有$\frac{1-{q}^{6}}{1-q}$=$\frac{9（1-{q}^{3}）}{1-q}$，
即（1-q³）（1+q³）=9（1-q³），
即有1+q³=9，即q³=8，解得q=2，…（4分）
则a_n=a₁q^n-1=2^n-1…（6分）
$（Ⅱ）{b}_{n}=1+{log}_{2}{a}_{n}=1+{log}_{2}{2}^{n-1}=1+n-1=n$，
∴${a}_{n}{b}_{n}=n•{2}^{n-1}…（7分）$，
∴${T}_{n}=1+2•2+3•{2}^{2}+…+n•{2}^{n-1}①$
$2{T}_{n}=1•2+2•{2}^{2}+…（n-1）{2}^{n-1}+n•{2}^{n}②$
②-①得${T}_{n}=n•{2}^{n}-（1+2+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}）=n•{2}^{n}-（{2}^{n}-1）=（n-1）{2}^{n}+1…（12分）$

点评 本题考查了等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．