Question

14．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．
（Ⅱ）若P（3，$\sqrt{5}$），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|+|PN|的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）消去参数t可得普通方程．
（II）把直线l的方程代入圆的方程可得：t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，利用根与系数的关系可得PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|．

解答 解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²-2$\sqrt{5}$y=0．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）消去参数t可得普通方程：x+y-3-$\sqrt{5}$=0．
（II）把直线l的方程代入圆的方程可得：t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，
则t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=4．
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相交、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．