Question

19．如图，⊙O的圆心O在Rt△ABC的直角边BC上，AB、AC都是⊙O的切线，M是AB与⊙O相切的切点，N是⊙O与BC的交点．
（Ⅰ）证明：MN∥AO；
（Ⅱ）若AC=3，MB=2，求CN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接CM，OM，运用三角形的全等的判定和性质，可得AO⊥CM，再由两直线平行的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）由切线的性质，可得AM=AC=3，求得AB，BC，运用圆的切割线定理，计算即可得到所求CN的长．

解答 解：（Ⅰ）连接CM，OM，
∵AC、AM都是⊙O的切线，
可得AC=AM，OC=OM，AO=AO，
则△AOC≌△AOM，
即有AO⊥CM，
又CN为⊙O的直径，
∴MN⊥CM，
∴MN∥AO；
（Ⅱ）由切线的性质可得AM=AC=3，
∴AB=AM+MB=5，
∴$BC=\sqrt{A{B^2}-A{C^2}}=4$
又由切割线定理得MB²=BN•BC，
∴BN=$\frac{M{B}^{2}}{BC}$=$\frac{{2}^{2}}{4}$=1，
∴CN=CB-BN=4-1=3．

点评 本题考查圆的切线的性质和切割线定理、勾股定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．