Question

12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+acosφ}\\{y=asinφ}\end{array}}$（φ为参数，实数a＞0），曲线C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=bcosφ}\\{y=b+bsinφ}\end{array}}$（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤$\frac{π}{2}$）与C₁交于O、A两点，与C₂交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=$\frac{π}{2}$时，|OB|=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求2|OA|²+|OA|•|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （I）由曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+acosφ}\\{y=asinφ}\end{array}}$（φ为参数，实数a＞0），利用cos²φ+sin²φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．
（II）由（I）可得C₁，C₂的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|²+|OA|•|OB|=2cos²θ+2sinθcosθ=$\sqrt{2}$$sin（2θ+\frac{π}{4}）$+1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+acosφ}\\{y=asinφ}\end{array}}$（φ为参数，实数a＞0），
化为普通方程为（x-a）²+y²=a²，展开为：x²+y²-2ax=0，
其极坐标方程为ρ²=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=$\frac{1}{2}$．
曲线C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=bcosφ}\\{y=b+bsinφ}\end{array}}$（φ为参数，实数b＞0），
化为普通方程为x²+（y-b）²=b²，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，
由题意可得当$θ=\frac{π}{2}$时，|OB|=ρ=2，∴b=1．
（Ⅱ）由（I）可得C₁，C₂的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．
∴2|OA|²+|OA|•|OB|=2cos²θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=$\sqrt{2}$$sin（2θ+\frac{π}{4}）$+1，
∵2θ+$\frac{π}{4}$∈$[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，∴$\sqrt{2}$$sin（2θ+\frac{π}{4}）$+1的最大值为$\sqrt{2}$+1，
当2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，θ=$\frac{π}{8}$时取到最大值．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．