题目内容
12．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（2）设点P（3，$\sqrt{5}$），直线l与圆C相交于A、B两点，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．
分析 （1）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 ${（{3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}+{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}=5$，即${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，结合根与系数的关系进行解答．
解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\sqrt{5}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$得直线l的普通方程为$x+y-3-\sqrt{5}=0$．
又由$ρ=2\sqrt{5}sinθ$得圆C的直角坐标方程为${x^2}+{y^2}-2\sqrt{5}y=0$
即${x^2}+{（y-\sqrt{5}）^2}=5$；
（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 ${（{3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}+{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}）^2}=5$，即${t^2}-3\sqrt{2}t+4=0$，
由于$△={（{3\sqrt{2}}）^2}-4×4=2＞0$，
故可设t1，t2是上述方程的两实数根，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{t_1}+{t_2}=3\sqrt{2}}\\{{t_1}•{t_2}=4}\end{array}}\right.$，
∴t1＞0，t2＞0…（7分）
又有直线l过点$P（{3，\sqrt{5}}）$，A、B两点对应的参数分别为t1，t2
所以|PA|=t1，|PB|=t2
所以$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{{{t_1}{t_2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
点评 本题重点考查了直线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案| A． | 30 | B． | 32 | C． | 34 | D． | 25 |
| A． | $\{x|x=2kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$ | B． | $\{x|x=2kπ+\frac{5π}{3}，k∈Z\}$ | ||
| C． | $\{x|x=2kπ±\frac{π}{3}，k∈Z\}$ | D． | $\{x|x=kπ+{（-1）^k}\frac{π}{3}，k∈Z\}$ |
| A． | 命题“若x＞2015，则x＞0”的逆命题 | |
| B． | 命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题 | |
| C． | 命题“若x2+x-2=0，则x=1” | |
| D． | 命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题 |