Question

17．已知函数f（x）=（x+a）e^x（x＞-3），其中a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线l与直线y=|2a-2|x平行，求l的方程；
（2）讨论函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，结合切线的斜率求出a的值，从而求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f'（x）=（x+a+1）e^x，
∵f'（0）=a+1=|2a-2|，∴a=3或$\frac{1}{3}$，
当a=3时，f（x）=（x+3）e^x，f（0）=3，
∴l的方程为：y=4x+3，
当$a=\frac{1}{3}$时，$f（x）=（{x+\frac{1}{3}}）{e^x}，f（0）=\frac{1}{3}$，
∴l的方程为：$y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$．
（2）令f'（x）=（x+a+1）e^x=0得x=-a-1，
当-a-1≤-3即a≥2时，f'（x）=（x+a+1）e^x＞0，f（x）在（-3，+∞）递增，
当-a-1＞-3即a＜2时，令f'（x）＞0得x＞-a-1，f（x）递增，
令f'（x）=0得-3＜x-a-1，f（x）递减，
综上所述，当a＜2时，f（x）的增区间为（-a-1，+∞），减区间为（-3，-a-1），
当a≥2时，f（x）在（-3，+∞）上递增．

点评 本题考查了切线方程问题，通过导数判断函数的单调性问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．