Question

已知各项都是正数的等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，若存在不同的两项a_m和a_n，使得a_m•a_n=16a₁²，则

1

m

+

4

n

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,等比数列的性质

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：由a₇=a₆+2a₅ 求得q=2，代入a_m•a_n=16a₁²求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．

解答： 解：由各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₇=a₆+2a₅，可得q²-q-2=0，∴q=2．
∵a_m•a_n=16a₁²，∴q^m+n-2=16，∴2^m+n-2=2⁴，∴m+n=6，
∴

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

(5+4)=

3

2

，
当且仅当

n

m

=

4m

n

时，等号成立．
故

1

m

+

4

n

的最小值等于

3

2

，
故答案为：

3

2

．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．