题目内容

某市直小学为了加强管理，对全校教职工实行新的临时事假制度：“每位教职工每月在正常的工作时间，临时有事，可请假至多三次，每次至多一小时”．现对该制度实施以来50名教职工请假的次数进行调查统计，结果如下表所示：
请假次数0123
人数5102015
根据上表信息解答以下问题：
（1）从该小学任选两名教职工，用η表示这两人请假次数之和，记“函数f（x）=x2-ηx-1在区（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该小学任选两名职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（1）由已知得η=4或η=5．当η=4时，P1=
C
2
20
+
C
1
10
C
1
15
C
2
50
=
68
245
，当η=5时，P2=
C
1
20
C
1
15
C
2
50
=
12
49
，由η=4与η=5为互斥事件，能求出事件A发生的概率．
（2）从该小学任选两名教职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
解答： 解：（1）函数f（x）=x2-ηx-1过（0，-1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，
则必有
f(4)＜0
f(6)＞0
，即
16-4η-1＜0
36-6η-1＞0
，
解得
15
4
＜η＜
35
6
，
所以，η=4或η=5．…（3分）
当η=4时，P1=
C
2
20
+
C
1
10
C
1
15
C
2
50
=
68
245
，
当η=5时，P2=
C
1
20
C
1
15
C
2
50
=
12
49
，…（5分）
η=4与η=5为互斥事件，
由互斥事件的概率公式，得事件A发生的概率P=
68
245
+
12
49
=
128
245
（6分）
（2）从该小学任选两名教职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，
则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，
P（ξ=0）=
C
2
5
+
C
2
10
+
C
2
20
+
C
2
15
C
2
50
=
2
7
，
P（ξ=1）=
C
1
5
C
1
10
+
C
1
10
C
1
20
+
C
1
15
C
1
20
C
2
50
=
22
49
，
P（ξ=2）=
C
1
5
C
1
20
+
C
1
10
C
1
15
C
2
50
=
10
49
，
P（ξ=3）=
C
1
5
C
1
15
C
2
50
=
3
49
，…（10分）
从而ξ的分布列：
ξ0123
P
2
7
22
49
10
49
3
49
ξ数学期望：Eξ=0×
2
7
+1×
22
49
+2×
10
49
+3×
3
49
=
51
49
．…（12分）
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．
练习册系列答案
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如图根据下列三视图，想象物体原形，并画出物体的实物草图．
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①若α∥β，则l⊥m；
②若α⊥β，则l∥m；
③若l∥m，则α⊥β；
④若l⊥m，则α∥β．
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A、①②B、③④C、①③D、②④
如果随机变量K2的观测值k≈8.254，这就意味着“分类变量X与Y有关系”这一结论成立的可能性为
 
．
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距为10，点P（1，2）在C的渐近线上，则C的方程为（　　）
A、
x2
80
-
y2
20
=1
B、
x2
20
-
y2
80
=1
C、
x2
5
-
y2
20
=1
D、
x2
20
-
y2
5
=1
过空间任意一点引三条直线，它们所确定的平面个数是（　　）
A、1B、2C、3D、1或3
已知P（2，3），PA，PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线，A，B是切点，那么直线AB的方程是
 
．
甲有三本不同的书，乙去借阅，并且至少借1本，则不同借法的总数为
 
．（用数字作答）
在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（0，3），设圆C的半径为1，圆心C（a，b）在直线l：y=2x-4上．
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