题目内容
设椭圆Γ1的中心和抛物线Γ2的顶点均为原点O，Γ1、Γ2的焦点均在x轴上，过Γ2的焦点F作直线l，与Γ2交于A、B两点，在Γ1、Γ2上各取两个点，将其坐标记录于下表中：| x | 3 | -2 | 4 |
| ||||||
| y | -2
| 0 | -4 | -
|
（2）若l与Γ1交于C、D两点，F0为Γ1的左焦点，求
| S△F0AB |
| S△F0CD |
（3）点P、Q是Γ1上的两点，且OP⊥OQ，求证：
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由题设知点（3，-2
），（4，-4）在抛物线上，点（-2，0），（
，-
）在椭圆上，由此能求出Γ1和Γ2的方程．
（2）
=
．当直线l的斜率存在时，由已知条件推导出
=
+
＞
；当直线l的斜率不存在时，
=
．由此得到
的最小值为
．
（3）若P、Q分别为长轴和短轴的端点，则
+
=
．若P、Q都不为长轴和短轴的端点，由已知条件能推导出
+
=
=
，反之，对于Γ1上的任意两点P，Q，当
+
=
时，OP⊥OQ不成立．
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
（2）
| S△F0AB |
| S△F0CD |
| |AB| |
| |CD| |
| S△F0AB |
| S△F0CD |
| 1 |
| k2 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| S△F0 AB |
| S△F0CD |
| 4 |
| 3 |
| S△F0AB |
| S△F0CD |
| 4 |
| 3 |
（3）若P、Q分别为长轴和短轴的端点，则
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 7 |
| 12 |
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 7k2+7 |
| 12k2+12 |
| 7 |
| 12 |
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 7 |
| 12 |
解答：
（1）解：∵在抛物线中，x≥0，∴（-2，0）在椭圆上，
∴在椭圆中，-2≤x≤2，∴点（3，-2
），（4，-4）在抛物线上，
∴（
，-
）在椭圆上，
∵椭圆Γ1的中心和抛物线Γ2的顶点均为原点O，Γ1、Γ2的焦点均在x轴上，
∴设椭圆方程为
+
=1，把（
，-
）代入，得：
+
=1，解得b2=3，
∴椭圆Γ1的方程
+
=1．
设抛物线方程为y2=2px，p＞0，把（4，-4）代入，得16=8p，解得p=2，
∴抛物线Γ2的方程为y2 =4x．…（4分）
（2）（理）解：设F0到直线l的距离为d，
=
=
．
F（1，0）是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，
①当直线l的斜率存在时，
设l：y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
联立方程
，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
k≠0时，△=4k4+16k2+16-4k4 2 +16＞0恒成立．
|AB|=x1+x2+2=
，…（5分）
联立方程
，得（3+4k2）x 2 -8k 2 x+4k2-12=0，
△=64k4-4（3+4k2）（4k2-12）=144k2+144＞0恒成立．
|CD|=
=
，…（6分）
∴
=
=
=
+
＞
．…（8分）
②当直线l的斜率不存在时，l：x=1，
此时，|AB|=4，|CD|=3，
=
．…（9分）
∴
的最小值为
．…（10分）
（3）（理）证明：①若P、Q分别为长轴和短轴的端点，
则
+
=
．（11分）
②若P、Q都不为长轴和短轴的端点，
设OP：y=kx，则OQ：y=-
x，P（xP，yP），Q（xQ，yQ），
联立方程
，解得xP2=
，yP2=
，…（12分）
同理，联立方程
，解得xQ2=
，yQ2=
，
∴
+
=
+
=
=
，（13分）
反之，对于Γ1上的任意两点P，Q，当
+
=
时，
设OP：y=k1x，OQ：y=k2x，则xP2=
，yP2=
，
xQ2=
，yQ2=
，
由
+
=
，得
+
=
，
即8k12k22k12+7k22+6=7（k12k22+k12+k22+1），亦即k1k2=±1，…（15分）
∴当
+
为定值
时，OP⊥OQ不成立，…（16分）．
∴在椭圆中，-2≤x≤2，∴点（3，-2
| 3 |
∴（
| 3 |
| ||
| 2 |
∵椭圆Γ1的中心和抛物线Γ2的顶点均为原点O，Γ1、Γ2的焦点均在x轴上，
∴设椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| ||
| b2 |
∴椭圆Γ1的方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
设抛物线方程为y2=2px，p＞0，把（4，-4）代入，得16=8p，解得p=2，
∴抛物线Γ2的方程为y2 =4x．…（4分）
（2）（理）解：设F0到直线l的距离为d，
| S△F0AB |
| S△F0CD |
| ||
|
| |AB| |
| |CD| |
F（1，0）是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，
①当直线l的斜率存在时，
设l：y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
联立方程
|
k≠0时，△=4k4+16k2+16-4k4 2 +16＞0恒成立．
|AB|=x1+x2+2=
| 4(1+k2) |
| k2 |
联立方程
|
△=64k4-4（3+4k2）（4k2-12）=144k2+144＞0恒成立．
|CD|=
(1+k2 )•
|
| 12(1+k2) |
| 3+4k2 |
∴
| S△F0AB |
| S△F0CD |
| ||
|
| 3+4k2 |
| 3k2 |
| 1 |
| k2 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
②当直线l的斜率不存在时，l：x=1，
此时，|AB|=4，|CD|=3，
| S△F0 AB |
| S△F0CD |
| 4 |
| 3 |
∴
| S△F0AB |
| S△F0CD |
| 4 |
| 3 |
（3）（理）证明：①若P、Q分别为长轴和短轴的端点，
则
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 7 |
| 12 |
②若P、Q都不为长轴和短轴的端点，
设OP：y=kx，则OQ：y=-
| 1 |
| k |
联立方程
|
| 12 |
| 4k2+3 |
| 12k2 |
| 4k2+3 |
同理，联立方程
|
| 12k2 |
| 3k2+4 |
| 12 |
| 3k2+4 |
∴
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 1 | ||||
|
| 1 | ||||
|
| 7k2+7 |
| 12k2+12 |
| 7 |
| 12 |
反之，对于Γ1上的任意两点P，Q，当
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 7 |
| 12 |
设OP：y=k1x，OQ：y=k2x，则xP2=
| 12 |
| 4k12+3 |
| 12k12 |
| 4k12+3 |
xQ2=
| 12 |
| 4k22+3 |
| 12k22 |
| 4k22+3 |
由
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 7 |
| 12 |
| 4k1 2 +3 |
| 12k12+12 |
| 4k22+3 |
| 12k2 2+12 |
| 7 |
| 12 |
即8k12k22k12+7k22+6=7（k12k22+k12+k22+1），亦即k1k2=±1，…（15分）
∴当
| 1 |
| |OP|2 |
| 1 |
| |OQ|2 |
| 7 |
| 12 |
点评：本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，考查三角形面积比值的最小值的求法，考查定值的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知集合A={x|
＜1}，B={x||x|＜1}，则A∩B=（ ）
| 1 |
| x |
| A、（-∞，0） | B、（-1，0） |
| C、（0，1） | D、∅ |
与双曲线x2-
=1有共同的渐近线，且经过点P（1，4）的双曲线方程为（ ）
| y2 |
| 4 |
A、
| ||||
B、2x2-
| ||||
C、
| ||||
D、-x2+
|
设椭圆Γ1的中心和抛物线Γ2的顶点均为原点O，Γ1、Γ2的焦点均在x轴上，过Γ2的焦点F作直线l，与Γ2交于A、B两点，在Γ1、Γ2上各取两个点，将其坐标记录于下表中：