Question

某政府准备建造一个椭圆游泳池（a＞b），椭圆的一个焦点到椭圆上的点的最大距离是最小距离的4倍．
（1）求此游泳池所在椭圆的离心率；
（2）已知椭圆的焦距为120米，在椭圆的长轴上的M₁、M₂处设计两个喷水头，使分出的水花形成有相等半径的圆M₁，圆M₂，且圆M₁与圆M₂外切，同时喷出的水不能落到椭圆形游泳池之外，试求两圆的最大半径．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用

专题：应用题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆的一个焦点到椭圆上的点的最大距离是最小距离的4倍，可以得到a，c的关系，即可求此游泳池所在椭圆的离心率；
（2）以⊙M₁与⊙M₂的切点为原点，M₁、M₂所在的线为x轴建立平面直角坐标系．依题意可知圆的方程，设出圆M₂的方程，联立消去y，根据位置与椭圆相切可知判别式等于0求得r，

解答： 解：（1）最大距离为a+c，最小距离为a-c
∴a+c=4（a-c），
∴3a=5c，
∴e=

3

5

（2）由题知：c=12百米∴a=20百米  b=16百米
∴椭圆方程为

x2

400

+

y2

256

=1
以⊙M₁与⊙M₂切点为原点，以M₁、M₂所在直线为X轴建立平面直角坐标系
设⊙M₂方程为（x-r）²+y²=r²
联立得

(x-r)2+y2=r2 x2 400 + y2 256 =1

，
∴9x²-100xr+6400=0
∵⊙M₂内切与椭圆内 
∴△=（-100r）²-4×9×6400=0，
∴r=4.8百米
∴点M₁在长轴中点左4.8百米处，点M2在长轴中点右4.8百米处，且⊙M₁、⊙M₂半径均为4.8百米

点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查椭圆的性质，考查了学生数形结合的思想和解决实际问题的能力，属于中档题．