Question

16．已知函数f（x）=2sin（-2x-$\frac{2π}{3}$）．
（I）当x∈（0，$\frac{π}{3}$）时，求函数f（x）的值域．
（II）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （I）利用诱导公式化简可知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），通过0＜x＜$\frac{π}{3}$可知-$\frac{π}{3}$＜2x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，进而可知f（x）在（0，$\frac{π}{3}$）上是增函数，计算即得结论；
（II）通过（I）可知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的单调递减区间可知$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，进而化简即得结论．

解答 解：（I）f（x）=2sin（-2x-$\frac{2π}{3}$）=-2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$+π）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵0＜x＜$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{3}$＜2x-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（-2x-$\frac{2π}{3}$）在（0，$\frac{π}{3}$）上是增函数，
∴f（0）＜f（x）＜f（$\frac{π}{3}$），
又∵f（0）=2sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，f（$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴所求值域为（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
（II）由（I）可知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，得：$\frac{5π}{6}$+2kπ≤2x≤$\frac{11π}{6}$+2kπ，
∴$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{11π}{12}$+kπ，
∴f（x）的单调递减区间是：[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11π}{12}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．