Question

4．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=1，点A（-m，0），B（m，0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则正数m的最小值与最大值的和为（　　）

• A． 11
• B． 10
• C． 9
• D． 8

Answer 1

分析 C：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），由已知得m²=a²+b²=|OP|²，m的最大（小）值即为|OP|的最大（小）值，可得结论．

解答 解：圆C：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心C（3，4），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），
∵∠APB=90°，∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$=（a+m）（a-m）+b²=0，
∴m²=a²+b²=|OP|²，
∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．
最小值即为|OP|的最小值，等于|OC|-r=5-1=4，
∴正数m的最小值与最大值的和为10．
故选B．

点评 本题考查实数的最大、小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．