Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC，AD=CD，AC交BD于点O，G为线段PC上一点．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若G是PC的中点，探讨直线PA与平面BDG公共点个数．

Answer 1

分析 （1）推导出同PA⊥BD，BD是AC的中垂线，O为AC的中点，由此能证明BD⊥平面PAC．
（2）由O为AC中点，G是PC的中点，知GO∥PA，由此能求出直线PA与平面BDG公共点个数为0个．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵AB=BC，AD=CD，
∴BD是AC的中垂线，O为AC的中点，
又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC．
解：（2）由（1）知O为AC中点，
又∵G是PC的中点，∴GO∥PA，
∵PA?平面BDG，GO?平面BDG，
∴PA∥平面BDG，
∴直线PA与平面BDG公共点个数为0个．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查直线与平面的公共点的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．