Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（1，1），$\overrightarrow{c}$=（-1，1）．
（Ⅰ）λ为何值时，$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直？
（Ⅱ）若（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$）∥$\overrightarrow{c}$，求$\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$，再由$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，利用向量垂直的性质能求出结果．
（Ⅱ）先求出$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$，再由（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$）∥$\overrightarrow{c}$，利用向量平行的性质能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（1，1），$\overrightarrow{c}$=（-1，1）．
∴$\overline{a}+λ\overrightarrow{b}$=（1+λ，λ），
∵$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直，∴（$\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=1+λ+0=0，
解得λ=-1，
∴λ=1时，$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$垂直．
（Ⅱ）∵$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$=（m，0）+（n，n）=（m+n，n），
又（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$）∥$\overrightarrow{c}$，
∴（m+n）×1-（-1×n）=0，∴$\frac{n}{m}$=-2．
∴若（m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$）∥$\overrightarrow{c}$，则$\frac{m}{n}$=-2．

点评 本题考查实数值及两数比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直、向量平行的性质的合理运用．