Question

12．如图所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，AA₁⊥平面ABC，D是A₁C₁的中点，则直线AD与平面B₁DC所成的角θ的正弦值为$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 建立如图所求的空间直角坐标系，O-xyz，x轴⊥AB，利用向量法能求出直线AD与平面B₁DC所成的角θ的正弦值．

解答 解：设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为2，
建立如图所求的空间直角坐标系，x轴⊥AB，
则C（0，0，0），A（$\sqrt{3}，-1，0$），B₁（$\sqrt{3}，1，2$），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，2），
$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，2$），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，2$），$\overrightarrow{DA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，-2$），
设平面B₁DC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=\sqrt{3}x+y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}，1，1$），
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{5}$，
∴直线AD与平面B₁DC所成的角θ的正弦值为$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．