Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，S_n是前n项和，求

lim

n→+∞

S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得

an

an-1

=

n-1

n+1

，从而由累乘法能求出an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=6（

1

n

-

1

n+1

），进而S_n=

6n

n+1

，由此能求出

lim

n→+∞

S_n=

lim

n→+∞

6n

n+1

=6．

解答： 解：∵数列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
∴

an

an-1

=

n-1

n+1

，
∴an=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=3×

1

3

×

2

4

×

3

5

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

=

1×2×3

n(n+1)

=6（

1

n

-

1

n+1

），
∴S_n=6（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

6n

n+1

，
∴

lim

n→+∞

S_n=

lim

n→+∞

6n

n+1

=6．

点评：本题考查数列的前n项和的极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．