Question

求函数f(x)=log

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(-x2-2x)的定义域、值域及单调区间．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：函数f(x)=log

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(-x2-2x)有意义，则必须-x²-2x＞0，解得即可得到函数的定义域；变形-x²-2x=-（x+1）2+1令u（x）=-（x+1）²+1，利用二次函数和复合函数的单调性即可得出单调区间；利用单调性即可得出函数的值域．

解答： 解：①要使函数f(x)=log

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(-x2-2x)有意义，
则必须-x²-2x＞0，化为x²+2x＜0，
解得-2＜x＜0．
∴此函数的定义域为（-2，0）．
②函数f(x)=log

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(-x2-2x)=log 

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[-（x+1）2+1]，
令u（x）=-（x+1）²+1，
当x∈（-2，-1]时，函数u（x）单调递增，此时函数y=log 

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（-x²-2x）单调递减；
当x∈（-1，0）时，函数u（x）单调递减，此时函数y=log 

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（-x²-2x）单调递增．
∴函数y=log 

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（-x²-2x）单调递减区间是（-2，-1]，单调递增区间是[-1，0）．
③由②可知：当x=-1时，函数y=log 

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（-x²-2x）取得最小值，为log 

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（-1+2）=0．
∴函数f(x)=log

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(-x2-2x)的值域为[0，+∞）．

点评：本题考查了对数函数、复合函数的定义域、单调区间及其值域，属于中档题．