Question

3．设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=$\sqrt{3}$+1，c=2，A+C=2B．求：
（1）边b的长；
（2）cosA的值．

Answer 1

分析 （1）由题意和三角形内角和可得B=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得b值；
（2）由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，代值计算可得．

解答 解：（1）∵△ABC中a=$\sqrt{3}$+1，c=2，A+C=2B，
∴A+B+C=3B=π，解得B=$\frac{π}{3}$，
∴b²=a²+c²-2accosB=4+2$\sqrt{3}$+4-2（$\sqrt{3}$+1）=6
∴边b=$\sqrt{6}$；
（2）cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{6+4-4-2\sqrt{3}}{2×2×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

点评 本题考查余弦定理解三角形，属基础题．