Question

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为（4

2

，

1

4

π），曲线C的参数方程为

x=1+3cosα y=3sinα

（α为参数），则过点M与曲线C相切的直线方程为

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，分切线的斜率不存在、存在两种情况，分别求得切线的方程．

解答： 解：根据点M的极坐标为（4

2

，

1

4

π），可得点M的直角坐标为（4，4），
把曲线C的参数方程为

x=1+3cosα y=3sinα

（α为参数），消去参数化为直角坐标方程为 （x-1）²+y²=9，
表示以（1，0）为圆心、半径等于3的圆．
当切线的斜率不存在时，切线的方程为x=4，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为y-4=k（x-4），即 kx-y+4-4k=0，
由圆心到切线的距离等于半径，可得 6k²-24k-13=0，求得k=

7

24

，
故切线的方程为 7x-24y+68=0，
综上可得，圆的切线方程为：7x-24y+68=0和x=4，
故答案为：7x-24y+68=0和x=4．

点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．