题目内容
已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（
，
）
（1）若|
|=|
|，求角α的值；
（2）若
•
=-1，求
的值．
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
（1）若|
| AC |
| BC |
（2）若
| AC |
| BC |
| 2sin2α+sin2α |
| 1-tanα |
考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算
专题：三角函数的求值,平面向量及应用
分析：（1）利用向量的运算性质、同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式即可得出．
（2）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式即可得出．
解答：
解：
=(cosα-3， sinα)，
=(cosα， sinα-3)．
（1）∵|
|=|
|，
∴
=
．
化简得：sinα=cosα，∴cosα=1．
又α∈(
，
)，
故α=
．
（2）∵
•
=-1，
∴（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，
化简得：sinα+cosα=
，
两边平方得：2sinαcosα=-
＜0，
∴α∈(
，π)，
故sinα-cosα＞0，
而(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=
，
∴sinα-cosα=
，
| AC |
| BC |
（1）∵|
| AC |
| BC |
∴
| (cosα-3)2+sin2α |
| cos2α+(sinα-3)2 |
化简得：sinα=cosα，∴cosα=1．
又α∈(
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
故α=
| 5π |
| 4 |
（2）∵
| AC |
| BC |
∴（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，
化简得：sinα+cosα=
| 2 |
| 3 |
两边平方得：2sinαcosα=-
| 5 |
| 9 |
∴α∈(
| π |
| 2 |
故sinα-cosα＞0，
而(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=
| 14 |
| 9 |
∴sinα-cosα=
| ||
| 3 |
|
点评：本题考查了向量的运算性质、数量积运算、同角三角函数基本关系式，考查了计算能力和推理能力，属于中档题．
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