Question

如图所示，函数y=2sin（ωx+ϕ）（x∈R，ω＞0，0≤ϕ≤

π

2

）的图象与y轴交于点（0，

3

），且该函数的最小正周期为π．
（1）求ω和ϕ的值；
（2）已知点A（

π

2

，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x₀，y₀）是PA的中点，当y₀=

3

2

，x0∈[

π

2

，π]时，求x₀的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）点（0，

3

）在函数y=2sin（ωx+ϕ）（x∈R，ω＞0，0≤ϕ≤

π

2

）的图象上，从而可解得ϕ的值，由该函数的最小正周期为π，ω＞0从而可求出ω的值．
（2）A（

π

2

，0），点Q（x₀，y₀）是PA的中点，从而求出P的坐标为（2x₀-

π

2

，2y₀）．P是y=2sin(2x+

π

3

)的图象上一点，y₀=

3

2

，x0∈[

π

2

，π]，从而求出x₀的值．

解答： 解：（1）将x=0，y=

3

代入函数y=2sin（ωx+ϕ）中，
得sin ϕ=

3

2

，因为0≤ϕ≤

π

2

，所以ϕ=

π

3

．
由已知T=π，且ω＞0，得ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
（2）因为点A（

π

2

，0），Q（x₀，y₀）是PA的中点，y₀=

3

2

，
所以点P的坐标为（2x₀-

π

2

，2y₀）．
又因为点P在y=2sin(2x+

π

3

)的图象上，且

π

2

≤x₀≤π，
所以sin(4x0-

2π

3

)=

3

2

，且

4π

3

≤4x₀-

2π

3

≤

10π

3

，
从而得4x₀-

2π

3

=

13π

6

，或4x₀-

2π

3

=

17π

6

，
即x₀=

17π

24

，或x₀=

21π

24

．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、图象及性质，属于中档题．