Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（a+c，b）与向量$\overrightarrow{n}$=（a-c，b-a）互相垂直．
（1）求角C；
（2）求sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，得（a+c）（a-c）+b（b-a）=0化简整理得a²+b²-c²=ab代入余弦定理即可求得cosC，结合C的范围进而求得C．
（2）由第二问得到的A与B的关系式，用A表示出B，代入所求的式子中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围，求出此时正弦函数的值域，可得出所求式子的范围．

解答 解：$（1）由已知可得：_{\;}^{\;}（{a+c}）（{a-c}）+b（{b-a}）=0⇒{a^2}+{b^2}-{c^2}=ab$，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴$C=\frac{π}{3}$．
$（2）_{\;}^{\;}∵C=\frac{π}{3}$，
∴$A+B=\frac{2π}{3}$，
∴$sinA+sinB=sinA+sin（{\frac{2π}{3}-A}）=sinA+sin\frac{2π}{3}cosA-cos\frac{2π}{3}sinA$=$\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA=\sqrt{3}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA}）=\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）$，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}⇒\frac{1}{2}＜sin（{A+\frac{π}{6}}）≤1$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sinA+sinB=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$．
则sinA+sinB的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于中档题．