题目内容
过三角形ABC所在平面外的一点P，作PO⊥平面α，垂足为O，连PA、PB、PC，则下列命题
①若PA=PB=PC，∠C=90°，则O是△ABC的边AB的中点；
②若PA=PB=PC，则O是三角形ABC的外心；
③若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则O是三角形ABC的重心．
正确命题是（ ）
①若PA=PB=PC，∠C=90°，则O是△ABC的边AB的中点；
②若PA=PB=PC，则O是三角形ABC的外心；
③若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则O是三角形ABC的重心．
正确命题是（ ）
| A、①②③ | B、①② | C、①③ | D、②③ |
考点：命题的真假判断与应用
专题：空间位置关系与距离
分析：应用直线与平面垂直的判定和性质，平面几何中三角形的重心、垂心和外心的概念即可解决．
解答：
解：过三角形ABC所在平面外的一点P，作PO⊥平面α，垂足为O，连PA、PB、PC，
若PA=PB=PC，连接OA，OB，OC，则OA=OB=OC，则O为三角形ABC的外心；又若∠C=90°，则O为AB的中点．
故①②正确．
若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC，
又PO⊥平面ABC，则PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，从而BC⊥AO，
同理AB⊥CO，AC⊥BO，故O为三角形的垂心，故③错，应改为垂心．
故选：B
若PA=PB=PC，连接OA，OB，OC，则OA=OB=OC，则O为三角形ABC的外心；又若∠C=90°，则O为AB的中点．
故①②正确．
若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则PA⊥平面PBC，从而PA⊥BC，
又PO⊥平面ABC，则PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，从而BC⊥AO，
同理AB⊥CO，AC⊥BO，故O为三角形的垂心，故③错，应改为垂心．
故选：B
点评：本题主要考查空间的线面位置关系--垂直，解题时要结合平面几何的基础知识，同时考查逻辑推理能力，是一道基础题．
练习册系列答案
相关题目
下列命题中正确的是（ ）
A、当x＞0且x≠1时，lgx+
| ||||||
B、当x＞0，
| ||||||
C、当0＜θ＜
| ||||||
D、当0＜x≤2时，x-
|
已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x-2）在[0，2]上单调递减，设a=f（0），b=f（2），c=f（-1），则（ ）
| A、a＜c＜b |
| B、a＜b＜c |
| C、b＜c＜a |
| D、c＜b＜a |
过两点A（4，y），B（2，-3）的直线的倾斜角是135°，则y=（ ）
| A、5 | B、-5 | C、1 | D、-1 |
下列命题中正确的是（ ）
A、“cosα=
| ||||
| B、函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，则f（a）•f（b）＜0 | ||||
| C、数列{an}是等比数列的充要条件是an+12=anan+2(n∈N*) | ||||
| D、命题“?x∈R，2x＞0”的否定是“?x∈R，2x≤0”． |
y=-3与y=sin3x的交点个数是（ ）
| A、0 | B、1 | C、2 | D、无数个 |