Question

1．设S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=n²，数列{b_n}为等比数列．已知a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设（a_n+1）•log₃b_n+2•c_n=1，求证：数列{c_n}的前n项和T_n＜$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 （I）由S_n=n²，利用递推关系即可得出a_n．由于数列{b_n}为等比数列．已知a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．分别令n=1，2，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由于（a_n+1）•log₃b_n+2•c_n=2n（n+2）•c_n=1，可得c_n=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．

解答 （Ⅰ）解：当n≥2时，∵a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
n=1时，a₁=S₁=1，满足上式，
∴a_n=2n-1．
∵a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3，
∴a₁b₁=3，a₁b₁+a₂b₂=30，
解得b₁=3，b₂=9．
∴{b_n}的通项公式为b_n=3ⁿ．  
（Ⅱ）证明：由（I）可得：（a_n+1）•log₃b_n+2•c_n=2n（n+2）•c_n=1，
∴c_n=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）
+…+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式前n项和公式、递推关系、“裂项求和”方法、数列的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．