Question

17．已知抛物线y²=4x，A、B分别是抛物线上位于x轴上、下两侧的点，且A、B在抛物线准线上的射影点分别为C、D．$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{9}{4}$（其中O为坐标原点），则$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=-17．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，设A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{4}$，n），（m＞0，n＜0），运用向量的数量积的坐标表示，可得mn=-18，求得C，D的坐标，运用向量数量积的坐标表示即可得到所求值．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为（1，0），准线为x=-1，
设A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{4}$，n），（m＞0，n＜0），
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{9}{4}$，可得$\frac{（mn）^{2}}{16}$+mn=$\frac{9}{4}$，
解得mn=-18，
由题意可得C（-1，m），D（-1，n），
即有$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=1+mn=1-18=-17．
故答案为：-17．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，考查抛物线的方程和准线方程的运用，注意运用设而不求法，属于中档题．