Question

已知函数f（x）=|3x+2|，g（x）=|x|+a
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|3x+2|≥|x|，两边平方整理得2x²+3x+1≥0，解得x的范围．
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）求得 a≥|3x+2|-|x|，令h（x）=|3x+2|-|x|=

-2x-2，x≤- 2 3 4x+2，- 2 3 ＜x＜0 2x+2，x≥0

，求得h（x）的最小值，可得所求实数a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|3x+2|≥|x|，
两边平方整理得2x²+3x+1≥0，解得x≤-1 或 x≥-

1

2

，
∴原不等式的解集为{x|x≤-1 或 x≥-

1

2

 }．
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得 a≥|3x+2|-|x|，
令h（x）=|3x+2|-|x|=

-2x-2，x≤- 2 3 4x+2，- 2 3 ＜x＜0 2x+2，x≥0

，
故h（x）的最小值为h（-

2

3

）=-

2

3

，从而所求实数a的范围为a≥-

2

3

．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．