Question

如图在棱长均为2的正四棱锥P-ABCD中，点E为PC中点，则下列命题正确的是（　　）

• A、BE平行面PAD，且直线BE到面PAD距离为

  3

• B、BE平行面PAD，且直线BE到面PAD距离为

  2 6

  3

• C、BE不平行面PAD，且BE与平面PAD所成角大于

  π

  6

• D、BE不平行面PAD，且BE与面PAD所成角小于

  π

  6

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：连接AC，BD，交点为O，以O为坐标原点，OC，OD，OP方向分别x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线BE的方向向量与平面PAD的法向量，代入向量夹角公式，求出BE与平面PAD夹角的正弦值，再由正弦函数的单调性，即可得到答案．

解答： 解：连接AC，BD，交点为O，以O为坐标原点，
OC，OD，OP方向分别x，y，z轴正方向建立空间坐标系，
由正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，点E为PC的中点，
则O（0，0，0），A（-

2

，0，0），B（0，-

2

，0），
C（

2

，0，0），D（0，

2

，0），
P（0，0，

2

），E（

2

2

，0，

2

2

），
则

BE

=（

2

2

，

2

，

2

2

），

PA

=（-

2

，0，-

2

），

PD

=（0，

2

，-

2

），
设

m

=（x，y，z）是平面PAD的一个法向量，
则

m • PA =- 2 x- 2 z=0 m • PD = 2 y- 2 z=0

，
取x=1，得

m

=（1，-1，-1），
设BE与平面PAD所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

m

，

BE

＞|=|

- 2

3 • 3

|=

2

3

＜

1

2

，
故BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°．
由此排除选项A，B，C．
故选：D．

点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用．