题目内容
10．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费支出（xi） 用与公司所获得利润（yi）的统计资料如表：科研费用支出（xi）与利润（yi）统计表 单位：万元
| 年份 | 科研费用支出（xi） | 利润（yi） |
| 2011 2012 2013 2014 2015 2016 | 5 11 4 5 3 2 | 31 40 30 34 25 20 |
| 合计 | 30 | 180 |
（2）当x=xi时，由回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$得到的函数值记为$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$，我们将ε=|$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$-yi|称为误差；
在表中6组数据中任取两组数据，求两组数据中至少有一组数据误差小于3的概率；
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{（\overline x）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-}\overline y）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（x_i^{\;}-\overline x）}^2}}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
分析 （1）根据所给的数据，利用最小二乘法需要的6个数据，横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（2）列举出所有的基本事件再求出满足条件的事件的个数，作商即可．
解答 解：（1）由题意得如下表格
| 序号 | xi | yi | xi•yi | xi2 |
| 1 | 5 | 31 | 155 | 25 |
| 2 | 11 | 40 | 440 | 121 |
| 3 | 4 | 30 | 120 | 16 |
| 4 | 5 | 34 | 170 | 25 |
| 5 | 3 | 25 | 75 | 9 |
| 6 | 2 | 20 | 40 | 4 |
| $\overline{{x}_{i}}$=5 | $\overline{{y}_{i}}$=30 | $\sum_{i=1}^{6}$xi•yi=1000 | $\sum_{i=1}^{6}$xi2=200 |
∴回归方程是：$\widehat{y}$=2x+20…（6分）
（2）各组数据对应的误差如下表：
| 序号 | xi | yi | $\widehat{{y}_{i}}$ | ε |
| 1 | 5 | 31 | 30 | 1 |
| 2 | 11 | 40 | 42 | 2 |
| 3 | 4 | 30 | 28 | 2 |
| 4 | 5 | 34 | 30 | 4 |
| 5 | 3 | 25 | 26 | 1 |
| 6 | 2 | 20 | 24 | 4 |
Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）}
共15个基本事件
事件“至少有一组数据与回归直线方程求得的数据误差小于3”包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（5，6），共14个基本事件
∴P=$\frac{14}{15}$
即在表中6组数据中任取两组数据，两组数据中至少有一组数据与回归直线方程求得的数据误差小于3的概率为$\frac{14}{15}$；…（12分）
点评 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个中档题．
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