Question

18．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AB=AA₁，∠A₁AB=60°，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求证：AB⊥平面A₁CD；
（Ⅲ）若AB=AC=2，${A_1}C=\sqrt{6}$，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC₁，A₁C，交于点O，连结OD，推导出OD∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）连结A₁B，推导出A₁D⊥AB，DC⊥AB，由此能证明AB⊥平面A₁CD．
（Ⅲ）推导出A₁D⊥平面ABC，由此能求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC₁，A₁C，交于点O，连结OD，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ACC₁A₁是平行四边形，∴O是AC₁的中点，
∵D是AB的中点，∴OD是△ABC₁的中位线，∴OD∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁CD，OD?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）连结A₁B，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AB=AA₁，∠A₁AB=60°，D是AB的中点，
∴△ABA₁是等边三角形，∴A₁D⊥AB，DC⊥AB，
∵A₁D∩CD=D，∴AB⊥平面A₁CD．
解：（Ⅲ）∵AB=AC=2，${A_1}C=\sqrt{6}$，AC=BC，AB=AA₁，∠A₁AB=60°，D是AB的中点，
∴AD=CD=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，∴AD²+CD²=A₁C²，
∴A₁D⊥CD，又A₁D⊥AB，AB∩CD=D，
∴A₁D⊥平面ABC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积：
V=S_△ABC•A₁D=$\frac{1}{2}×AB×CD×{A}_{1}D$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱柱的体积的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意空间思维能力的培养．