题目内容

在数列{an}中，已知a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
，则a2015=
 
．
考点：数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：由已知条件利用递推公式求出数列的前5项，由此猜想an=
3
n+5
．再用数学归纳法证明，由此能求出a2015．
解答： 解：∵a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
，
∴a2=
3×
1
2
1
2
+3
=
3
7
，
a3=
3×
3
7
3
7
+3
=
3
8
，
a4=
3×
3
8
3
8
+3
=
1
3
，
a5=
3×
1
3
1
3
+3
=
3
10
，
由此猜想，an=
3
n+5
．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=
3
1+5
=
1
2
，成立．
②假设n=k时，成立，即ak=
3
k+5
，
当n=k+1时，ak+1=
3×
3
k+5
3
k+5
+3
=
9
3+3(k+5)
=
3
(k+1)+5
，也成立．
由①②，得an=
3
n+5
．
∴a2015=
3
2020
．
故答案为：
3
2020
．
点评：本题考查数列的第2015项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想和数学归纳法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知tan（
π
4
+θ）+tan（
π
4
-θ）=4，且-π＜θ＜-
π
2
，求sin2θ-2sinθcosθ-cos2θ的值．
已知x∈R，a＞0，设ax+a-x=u，将下列各式分别用u表示
（1）a
x
2
+a-
x
2
；
（2）a
3x
2
+a-
3x
2
．
圆
x=1+cosα
y=sinα
(α为参数)上的点到直线
x=t
y=1+t
(t为参数)的最大距离为
 
．
已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+2n+1，则an=
 
．
已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=
cosπx，x∈[0，
1
2
]
2x-1，x∈(
1
2
，+∞)
，则不等式f（x）≤
1
2
的解集为（　　）
A、[
1
4
，
2
3
]∪[
4
3
，
7
4
]
B、[-
3
4
，-
1
3
]∪[
1
4
，
2
3
]
C、[
1
3
，
3
4
]∪[
4
3
，
7
4
]
D、[-
3
4
，-
1
3
]∪[
1
3
，
3
4
]
观察下列等式：
12=1，12-22=-3．
12-22+32=6，12-22+32-42=10．
…，…，
照此规律，第6个等式为
 
．
已知向量
a
，
b
的夹角为60°，且|
a
|=2，|
b
|=1，则|
a
•
b
|=
 
．
已知函数f（x）=a|x+1|-b|2x-4|，当a=1，b=
1
2
时，解不等式f（x）≤0．

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