Question

已知tan（

π

4

+θ）+tan（

π

4

-θ）=4，且-π＜θ＜-

π

2

，求sin²θ-2sinθcosθ-cos²θ的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：利用三角恒等变换可得cos2θ=

1

4

，又-π＜θ＜-

π

2

，可得-2π＜2θ＜-

3π

2

，从而可求得sin2θ的值，利用二倍角的正弦与余弦可得sin²θ-2sinθcosθ-cos²θ的值．

解答： 解：∵tan（

π

4

+θ）+tan（

π

4

-θ）=tan（

π

4

+θ）+cot（

π

4

+θ）=

sin( π 4 +θ)

cos( π 4 +θ)

+

cos( π 4 +θ)

sin( π 4 +θ)

=

1

2sin( π 4 +θ)cos( π 4 +θ)

=

1

cos2θ

=4，
∴cos2θ=

1

4

；
又-π＜θ＜-

π

2

，∴-2π＜2θ＜-π，
∴-2π＜2θ＜-

3π

2

，
∴sin2θ=

1-cos22θ

=

15

4

，
∴sin²θ-2sinθcosθ-cos²θ=-cos2θ-sin2θ=-

1+ 15

4

．

点评：本题考查两角和与差的正切，考查同角三角函数间的关系式的应用，求得cos2θ=

1

4

与-2π＜2θ＜-

3π

2

是关键，考查二倍角的正弦与余弦，属于中档题．