Question

已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)设点A为直线l：x－y－2＝0上任意一点，过A作曲线C的切线，切点分别为P，Q，求△APQ面积的最小值及此时点A的坐标．

Answer 1

解：(1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，根据题意，得

化简得x²＝4y.

故曲线C的方程为x²＝4y.

(2)设直线PQ的方程为y＝kx＋b，

由消去y，得x²－4kx－4b＝0.

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

则且Δ＝16k²＋16b.

以点P为切点的切线的斜率为x₁，其切线方程为y－y₁＝x₁(x－x₁)，

即y＝x₁x－x，

同理过点Q的切线的方程为y＝x₂x－x.

设两条切线的交点A(x_A，y_A)，

∵x₁≠x₂，解得

即A(2k，－b)，

则2k＋b－2＝0，即b＝2－2k，代入Δ＝16k²＋16b＝16k²＋32－32k＝16(k－1)²＋16>0，

∴|PQ|＝|x₁－x₂|

＝

又A(2k，－b)到直线PQ的距离为d＝，

∴S_△APQ＝|PQ|·d＝4|k²＋b|·＝4(k²＋b) ＝4(k²－2k＋2) ＝4[(k－1)²＋1] ，

∴当k＝1时，S_△APQ最小，其最小值为4，此时点A的坐标为(2,0)．