题目内容
已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋p·3n(n∈N*，p为常数)，a1，a2＋6，a3成等差数列．
(1)求p的值及数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝
，证明：bn≤
.
(1)求p的值及数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝
，证明：bn≤.（1）an＝3n（2）
由a1＝3，an＋1＝an＋p·3n，得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p.
∵a1，a2＋6，a3成等差数列，∴a1＋a3＝2(a2＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，得p＝2.
依题意知，an＋1＝an＋2×3n，
当n≥2时，a2－a1＝2×31，a3－a2＝2×32，…，an－an－1＝2×3n－1.
等号两边分别相加得an－a1＝2(31＋32＋…＋3n－1)＝2×
＝3n－3，
∴an－a1＝3n－3，∴an＝3n(n≥2)．
又a1＝3适合上式，故an＝3n.
(2)证明:∵an＝3n，∴bn＝
.
∵bn＋1－bn＝
－＝
(n∈N*)．
若－2n2＋2n＋1<0，则n>
，
即当n≥2时，有bn＋1<bn.
又因为b1＝
，b2<.故bn≤
∵a1，a2＋6，a3成等差数列，∴a1＋a3＝2(a2＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，得p＝2.
依题意知，an＋1＝an＋2×3n，
当n≥2时，a2－a1＝2×31，a3－a2＝2×32，…，an－an－1＝2×3n－1.
等号两边分别相加得an－a1＝2(31＋32＋…＋3n－1)＝2×
＝3n－3，∴an－a1＝3n－3，∴an＝3n(n≥2)．
又a1＝3适合上式，故an＝3n.
(2)证明:∵an＝3n，∴bn＝
.∵bn＋1－bn＝
－＝ (n∈N*)．若－2n2＋2n＋1<0，则n>
，即当n≥2时，有bn＋1<bn.
又因为b1＝
，b2<.故bn≤
练习册系列答案
相关题目
和等比数列
中，
，
，
是
项和．
，求实数
的值；
中？若存在，求出所有的
中至少有三项在数列
中，但
，公差
，前n项和为
，
,且满足
成等比数列.
，求数列
的前
项和
的值.
＋
，且a1＝
}为等差数列，若
，
,则
________.
，数列{an}满足an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n，又知在数列{bn}中，b1＝2，且对任意正整数m，n，
.
，如果
为完全平方数，则称数列
性质”，不论数列
，且
是
的一个排列；(2)数列
项和；